Ensembles finis Exemples

$x^{6} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{3}$ par $u$ .

$u^{2} + 28 u + 27 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 28 u + 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $27$ et dont la somme est $28$ .

$1, 27$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 1) (u + 27) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

$x^{3} + 27 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{3} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{3} + 1$ égal à $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{3} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 1$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 1 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Étape 3.2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Étape 3.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 3.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.2.6

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 3.2.6.2

Résolvez $x^{2} - x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Définissez $x^{3} + 27$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{3} + 27$ égal à $0$ .

$x^{3} + 27 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{3} + 27 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 27$

Étape 4.2.2

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 27 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} = 0$

Étape 4.2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

Étape 4.2.3.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

Étape 4.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Étape 4.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.2.6

Définissez $x^{2} - 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.6.1

Définissez $x^{2} - 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Étape 4.2.6.2

Résolvez $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 4.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.6.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$